基于 ARIMA 模型的非平稳时间序列预测

摘要：本文主要记录统计学课程中 ARIMA(p,d,q) 模型的参数估计、差分处理与白噪声检验流程。文末嵌入了一个可交互 demo，可以实时拖动 p/d/q 看拟合与预测曲线的变化。

1. 理论基础

时间序列分析的核心在于提取数据中的趋势 (Trend) 与季节性 (Seasonality)。对于非平稳序列，我们需要通过差分消除单位根。ARIMA(p, d, q) 模型可以写成：

\phi(B)(1-B)^d X_t = \theta(B)\,\epsilon_t

其中 $B$ 为滞后算子， $\phi(B) = 1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_p B^p$ 是 AR 多项式， $\theta(B) = 1 + \theta_1 B + \cdots + \theta_q B^q$ 是 MA 多项式， $\epsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$ 。

p：自回归阶数（AR）
d：差分阶数（去趋势）
q：移动平均阶数（MA）

2. 数据预处理 (R Language)

首先加载必要的库，并进行单位根检验 (ADF Test)：

library(tseries)
library(forecast)

data <- read.csv("data.csv")
ts_data <- ts(data$value, frequency = 12)

# ADF 检验：H0 = 存在单位根（序列非平稳）
adf.test(ts_data)
# p-value > 0.05，表明序列不平稳，需要进行一阶差分

diff_data <- diff(ts_data)
plot(diff_data, main = "一阶差分后序列", ylab = "Δ x_t")
adf.test(diff_data)
# 若 p-value < 0.05，接受平稳假设，取 d = 1

3. 定阶：ACF / PACF

差分到平稳后，用 ACF 与 PACF 图粗估 $p$ 与 $q$ ：

par(mfrow = c(1, 2))
acf(diff_data, lag.max = 40, main = "ACF")
pacf(diff_data, lag.max = 40, main = "PACF")

经验规则：

模型	ACF	PACF
AR(p)	拖尾	p 阶截尾
MA(q)	q 阶截尾	拖尾
ARMA(p, q)	拖尾	拖尾

当两边都拖尾，交给 auto.arima 用 AIC/BIC 网格搜索即可。

4. 参数估计与诊断

fit <- Arima(ts_data, order = c(1, 1, 1))
summary(fit)

# 残差白噪声检验
Box.test(residuals(fit), lag = 12, type = "Ljung-Box")
# p-value 越大越好（不能拒绝残差是白噪声）

checkresiduals(fit)

5. 预测

fc <- forecast(fit, h = 12)
autoplot(fc) +
  ggtitle("ARIMA(1,1,1) — 12 步预测") +
  theme_minimal()

6. 交互 demo — 自己拖 p / d / q 看看

下面是一个在浏览器里实时拟合的 demo。拖动滑块可以看到：

p 越大，AR 部分越吃数据的趋势惯性
d 决定差分几次，过度差分会吃掉信号
q 越大，MA 部分越能平滑残差

ARIMA(p, d, q) Pull the sliders — fit recomputes live.

p 1 d 1 q 1 seed 7

Observed Fitted Forecast (12) —

7. 踩坑总结

过度差分：d = 2 往往导致残差自相关消失得太干净但方差变大，预测区间拉宽到没意义。
季节性没处理：月度数据建议直接上 SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s，裸 ARIMA 会把 12 月的 spike 当噪声。
auto.arima 不是银弹：它的 stepwise 搜索会卡在局部 AIC 最优，建议 stepwise = FALSE, approximation = FALSE 做一次全局搜索确认。

参考

Cryer & Chan, Time Series Analysis: With Applications in R (2nd ed.)
Hyndman & Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice (3rd ed.), otexts.com/fpp3